微分積分例

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

ステップ 1

$v = e^{x + y}$ とします。 $v$ を $e^{x + y}$ に代入します。

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

ステップ 2

$e^{x + y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

ステップ 3

$v$ を $e^{x + y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

ステップ 4.2

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

ステップ 5

変数を分けます。

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ステップ 5.1

$\frac{d v}{d y}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1

両辺に $v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

ステップ 5.1.2

簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

ステップ 5.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

ステップ 5.1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

ステップ 5.2

両辺に $\frac{1}{v^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

ステップ 5.3

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

ステップ 6

両辺を積分します。

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ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1.1

$v^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.1.2

${(v^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

ステップ 6.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

ステップ 6.2.2

べき乗則では、 $v^{- 2}$ の $v$ に関する積分は $- v^{- 1}$ です。

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

ステップ 6.2.3

$- v^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{v} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{v} = y + K$

ステップ 7

$v$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$v, 1, 1$

ステップ 7.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$v$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{v} = y + K$ の各項に $v$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.2.1

$- \frac{1}{v} = y + K$ の各項に $v$ を掛けます。

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$- \frac{1}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

ステップ 7.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

ステップ 7.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = y v + K v$

ステップ 7.3

方程式を解きます。

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ステップ 7.3.1

方程式を $y v + K v = - 1$ として書き換えます。

$y v + K v = - 1$

ステップ 7.3.2

$v$ を $y v + K v$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.2.1

$v$ を $y v$ で因数分解します。

$v y + K v = - 1$

ステップ 7.3.2.2

$v$ を $K v$ で因数分解します。

$v y + v K = - 1$

ステップ 7.3.2.3

$v$ を $v y + v K$ で因数分解します。

$v (y + K) = - 1$

ステップ 7.3.3

$v (y + K) = - 1$ の各項を $y + K$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$v (y + K) = - 1$ の各項を $y + K$ で割ります。

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

ステップ 7.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.2.1

$y + K$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

ステップ 7.3.3.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- 1}{y + K}$

ステップ 7.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$v = - \frac{1}{y + K}$

ステップ 8

$v$ のすべての発生を $e^{x + y}$ で置き換えます。

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

ステップ 9.2

左辺を展開します。

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ステップ 9.2.1

$x + y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x + y})$ を展開します。

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

ステップ 9.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

ステップ 9.2.3

$x + y$ に $1$ をかけます。

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

ステップ 9.3

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$

微分積分 例

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