微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

ステップ 1.2

${(2 + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

${(2 + y)}^{2}$ を $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u = 2 + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = 2 + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$2 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.4

$- u^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.5

$u$ のすべての発生を $2 + y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 + y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$2 + y, 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 + y$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ の各項に $2 + y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ の各項に $2 + y$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{2 + y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

ステップ 3.2.3.1.2

$2$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

ステップ 3.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

ステップ 3.2.3.1.4

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

ステップ 3.2.3.2

$2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ として書き換えます。

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2 \tan (x)$ を引きます。

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $2 K$ を引きます。

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

ステップ 3.3.3

$y$ を $y \tan (x) + K y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$y$ を $y \tan (x)$ で因数分解します。

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

ステップ 3.3.3.2

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

ステップ 3.3.3.3

$y$ を $y (\tan (x)) + y K$ で因数分解します。

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

ステップ 3.3.4

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ の各項を $\tan (x) + K$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ の各項を $\tan (x) + K$ で割ります。

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$\tan (x) + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.3.1

$- 1$ を $- 1 - 2 \tan (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.3.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.3.1.2

$- 1$ を $- 2 \tan (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.3.1.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.3.1.4

$- 1 (1 + 2 \tan (x))$ を $- (1 + 2 \tan (x))$ に書き換えます。

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.3.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3.2

$- 1$ を $- 2 \tan (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3.4

$- 1$ を $- 2 K$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3.5

$- 1$ を $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ の $π$ を $x$ に、 $- 5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ として書き換えます。

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2.3

$2 (- 0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

ステップ 6.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

ステップ 6.2.6

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

ステップ 6.2.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

ステップ 6.2.8

$0$ と $K$ をたし算します。

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

ステップ 6.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$K, 1$

ステップ 6.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$K$

ステップ 6.4

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$ の各項に $K$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$ の各項に $K$ を掛けます。

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$- \frac{1 + K}{K}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

ステップ 6.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

ステップ 6.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- (1 + K) = - 5 K$

ステップ 6.4.2.2

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

ステップ 6.4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - K = - 5 K$

ステップ 6.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$K$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

方程式の両辺に $5 K$ を足します。

$- 1 - K + 5 K = 0$

ステップ 6.5.1.2

$- K$ と $5 K$ をたし算します。

$- 1 + 4 K = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 K = 1$

ステップ 6.5.3

$4 K = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

$4 K = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.5.3.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{1}{4}$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ を $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{4}$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

ステップ 7.2

分数の分子と分母に $4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

ステップ 7.2.2

まとめる。

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$4$ に $1$ をかけます。

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.5.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

ステップ 7.6

$4$ を $4 \tan (x) + 4 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$4$ を $4 \tan (x)$ で因数分解します。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

ステップ 7.6.2

$4$ を $4 K$ で因数分解します。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

ステップ 7.6.3

$4$ を $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ で因数分解します。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$

微分積分 例

微分積分例