微分積分例

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(x^{2} + 1) d x$ を引きます。

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 4.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 4.3.6.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

ステップ 5.4

$\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$3$ を $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

ステップ 5.4.1.2

$3$ を $\frac{3}{x}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

ステップ 5.4.1.3

$3$ を $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

ステップ 5.4.1.4

$3$ を $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

ステップ 5.4.2

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

ステップ 5.4.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$- x$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

ステップ 5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

ステップ 5.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

ステップ 5.4.4.2

$x \cdot x$ を $x^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

ステップ 5.4.4.3

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

ステップ 5.4.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

ステップ 5.4.5

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

ステップ 5.4.6

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

ステップ 5.4.7.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

ステップ 5.4.8

$3$ と $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

ステップ 5.4.9

$\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 5.4.10

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.4.11

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.11.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.4.11.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.4.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.4.11.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 5.4.11.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.11.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.4.11.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.11.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.11.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.11.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

ステップ 5.4.11.5.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

ステップ 5.4.12

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

ステップ 5.4.13

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

ステップ 5.4.14

$\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$

微分積分 例

微分積分例