微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{1}{2}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{2} d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{2} x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} x}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{x}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{x}{2}}$ を掛けます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} y) = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

ステップ 2.2.3

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

ステップ 2.3

$e^{\frac{x}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 3}{2}$

ステップ 2.4

$3$ を $e^{\frac{x}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 \cdot e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.5

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y e^{\frac{x}{2}}}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] d x = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{x}{2}} y = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

ステップ 6.2

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 6.2.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

ステップ 6.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

ステップ 6.3.3

$2$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int 2 e^{u} d u$

ステップ 6.4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} (2 \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 (e^{u} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{u} + C$

ステップ 6.8

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{x}{2}} + C$

ステップ 6.9

項を並べ替えます。

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$

ステップ 7

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ の各項を $e^{\frac{x}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ の各項を $e^{\frac{x}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{\frac{x}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{\frac{x}{2}}$ を $3 e^{\frac{1}{2} x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x$ を $\frac{1}{2} x \cdot 2 - x$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1.2.1.1

$x$ を $\frac{1}{2} x \cdot 2$ で因数分解します。

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.3

$x$ を $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y = 3 e^{\frac{x (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$y = 3 e^{\frac{x \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.3

$x$ に $0$ をかけます。

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4

$0$ を $2$ で割ります。

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 7.3.1.6

$3$ に $1$ をかけます。

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例