微分積分例

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

ステップ 2

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ の各項を $\tan (x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ の各項を $\tan (x)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\tan (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

ステップ 2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

ステップ 2.1.3.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.1.3.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 2.1.3.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

ステップ 2.1.3.1.5

$- 8$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

ステップ 2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ を $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2$ を $\frac{2 y}{\tan (x)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $- 8 \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.1.3

$2$ を $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.2.5

$y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\cot (x)$ を $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$\cot (x)$ を $y \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

ステップ 2.2.3.1.2

$\cot (x)$ を $- 4 \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

ステップ 2.2.3.1.3

$\cot (x)$ を $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

ステップ 2.3

両辺に $\frac{1}{y - 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

ステップ 2.4.2

$2$ と $\frac{1}{y - 4}$ をまとめます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

ステップ 2.4.3

$y - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$y - 4$ を $\cot (x) (y - 4)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

ステップ 2.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

ステップ 2.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

ステップ 2.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$u = y - 4$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$u = y - 4$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$y - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

ステップ 3.2.1.1.2

総和則では、 $y - 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 3.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

ステップ 3.2.1.1.4

$- 4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y - 4$ で置き換えます。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

ステップ 3.3.2

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

ステップ 3.3.3

簡約します。

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ を簡約します。

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

ステップ 4.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \sin (x) |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

ステップ 4.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

ステップ 4.2.1.3

$1$ を掛けます。

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

ステップ 4.2.1.4

分数を分解します。

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

ステップ 4.2.1.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

ステップ 4.2.1.6

$| y - 4 |$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

ステップ 4.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

ステップ 4.4

対数の定義を利用して $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

ステップ 4.5

$y$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

方程式を $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ として書き換えます。

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

ステップ 4.5.2

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ の各項を $\csc^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ の各項を $\csc^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$\csc^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

$| y - 4 |$ を $1$ で割ります。

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

ステップ 5.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$

微分積分 例

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