微分積分例

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

ステップ 1

$P (y) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (y) d y}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d y}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{y + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{y}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{y}$ を掛けます。

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

ステップ 2.3

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ の因数を並べ替えます。

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

ステップ 6.2

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

ステップ 6.3

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

ステップ 6.4

簡約します。

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

ステップ 7

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ の各項を $e^{y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ の各項を $e^{y}$ で割ります。

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

ステップ 7.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

ステップ 7.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$

微分積分 例

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