微分積分例

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

ステップ 1.1.1.2

$2$ を $\frac{d y}{d x}$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

ステップ 1.1.1.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $4 x y^{2}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $8 x y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

ステップ 1.1.2.3

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $2 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ の各項を $x^{2} + 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ の各項を $x^{2} + 2$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$x^{2} + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.1.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1

$4 x$ を $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1.1

$4 x$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.2

$4 x$ を $- 8 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.3

$4 x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.4

$4 x$ を $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.5

$4 x$ を $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.2.1.1

$- 2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2.1.2

$- 2$ を $- 1$ プラス $- 1$ に書き換える

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.2.3

最大公約数 $- 1 y - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.4.1

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.3

$- 1$ を $- (y) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.4

$- (y + 1)$ を $- 1 (y + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.5

$y + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.6

$y + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.2.4.9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

ステップ 1.4.2

${(y + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

ステップ 1.4.2.2

${(y + 1)}^{2}$ を $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y + 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.2.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.4

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.5

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = x^{2} + 2$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = x^{2} + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$x^{2} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ を簡約します。

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y + 1, 1, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$y + 1, 1, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y + 1$

ステップ 3.3

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ の各項に $y + 1$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ の各項に $y + 1$ を掛けます。

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

ステップ 3.3.3.1.4

分配則を当てはめます。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

ステップ 3.3.3.1.5

$C$ に $1$ をかけます。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

ステップ 3.3.3.2

$- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ として書き換えます。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

ステップ 3.4.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺に $C y$ を足します。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

ステップ 3.4.4

方程式の両辺に $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ を足します。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

ステップ 3.4.5

$y$ を $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$y$ を $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

ステップ 3.4.5.2

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

ステップ 3.4.5.3

$y$ を $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

ステップ 3.4.6

$- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ を $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ に書き換えます。

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

ステップ 3.4.7

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ の各項を $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ の各項を $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ で割ります。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1

$- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.4.7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.4

$- 1$ を $- C - 1 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.5

$- 1$ を $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.6

$- 1$ を $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ で因数分解します。

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.7

$- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ を $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

ステップ 3.4.7.3.2.8

$- 1$ を $C$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

ステップ 3.4.7.3.2.9

$- 1$ を $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

ステップ 3.4.7.3.2.10

$- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ を $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

ステップ 3.4.7.3.2.11

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

ステップ 3.4.7.3.2.12

式を書き換えます。

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

微分積分 例

微分積分例