微分積分例

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

ステップ 1

方程式を $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $b y t$ を足します。

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

ステップ 1.2

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

ステップ 2

$P (t) = b t$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int b t d t}$

ステップ 2.2

$b t$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$b$ は $t$ に対して定数なので、 $b$ を積分の外に移動させます。

$e^{b \int t d t}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ を $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$b$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$\frac{b}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ と $b$ をまとめます。

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

ステップ 2.5

$\frac{b}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

ステップ 3.2

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

ステップ 3.3

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ の $t$ に関する積分は $0$ です。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

ステップ 7.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

ステップ 8

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例