微分積分例

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

ステップ 2

$P (t) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d t}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 t + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 t}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 t}$ を掛けます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

ステップ 3.3

指数を足して $e^{2 t}$ に $e^{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

ステップ 3.3.2

$2 t$ と $2 t$ をたし算します。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

ステップ 3.4

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = 4 t$ とします。次に $d u = 4 d t$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$u = 4 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1.1

$4 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 7.1.1.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 7.1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

ステップ 7.3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 7.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 7.5

簡約します。

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 7.6

$u$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

ステップ 8

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ の各項を $e^{2 t}$ で割ります。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{4 t}$ と $e^{2 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$e^{2 t}$ を $\frac{1}{4} e^{4 t}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} e^{2 t}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 8.3.1.2

$\frac{1}{4}$ と $e^{2 t}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の $1$ を $t$ に、 $2$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ として書き換えます。

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

ステップ 10.2

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

ステップ 10.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

ステップ 10.3

方程式の両辺から $\frac{e^{2}}{4}$ を引きます。

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

ステップ 10.4

方程式の両辺に $e^{2}$ を掛けます。

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

ステップ 10.5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 10.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 10.5.1.1

$e^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

ステップ 10.5.1.1.2

式を書き換えます。

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

ステップ 10.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ を簡約します。

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ステップ 10.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

ステップ 10.5.2.1.2

$2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

ステップ 10.5.2.1.3

$e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ を掛けます。

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ステップ 10.5.2.1.3.1

$e^{2}$ と $\frac{e^{2}}{4}$ をまとめます。

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

ステップ 10.5.2.1.3.2

指数を足して $e^{2}$ に $e^{2}$ を掛けます。

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ステップ 10.5.2.1.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

ステップ 10.5.2.1.3.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

ステップ 11

$2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ を $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$2 e^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2.1.2

$2 e^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

ステップ 11.2.3

$\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ に $\frac{1}{e^{2 t}}$ をかけます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

ステップ 11.3

$\frac{e^{2 t}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

ステップ 11.4

$\frac{e^{2 t}}{4}$ に $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ をかけます。

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

ステップ 11.6

指数を足して $e^{2 t}$ に $e^{2 t}$ を掛けます。

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ステップ 11.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

ステップ 11.6.2

$2 t$ と $2 t$ をたし算します。

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

微分積分 例

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