微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x e^{2 x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x e^{2 x}$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x e^{2 x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x e^{2 x})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x e^{2 x})$

ステップ 3.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x$ を移動させます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x e^{2 x}$

ステップ 3.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 7.2.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

共通因数を約分します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.4.2.2

式を書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

ステップ 7.4.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

ステップ 7.5

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.6.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 7.8

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.8.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7.9

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 7.10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 7.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 7.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.1

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$x y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.4

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

ステップ 7.13.2.6

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 7.13.2.7

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 7.13.2.8

公分母の分子をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 7.13.2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.14

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.1

分配則を当てはめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.15.2.2

共通因数を約分します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.15.2.3

式を書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

ステップ 7.15.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 7.15.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

ステップ 7.15.3.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 7.15.3.4

共通因数を約分します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

ステップ 7.15.3.5

式を書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.4.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.4.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.5

$- x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.6

$- x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.7

公分母の分子をまとめます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.8.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.8.1.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.8.1.2

$1$ を掛けます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.8.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.9

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.11

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.12

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

ステップ 7.15.13

分数の前に負数を移動させます。

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

ステップ 7.16

項を並べ替えます。

$x y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

ステップ 8.1.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

ステップ 8.1.1.3

$- 1$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.4

$- 1 e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ に書き換えます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.5

分配則を当てはめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.6.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.6.2

$2$ を $2 e^{2 x} x$ で因数分解します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.6.3

共通因数を約分します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.6.4

式を書き換えます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

ステップ 8.1.1.7

$- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

ステップ 8.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

ステップ 8.1.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.8

$- 1 (e^{2 x} x)$ を $- (e^{2 x} x)$ に書き換えます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.9

公分母を利用して $- e^{2 x} x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.9.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.9.2

$- x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.9.3

$- x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.9.4

公分母の分子をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.10.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.10.1.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.10.1.2

$1$ を掛けます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.10.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

ステップ 8.1.1.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

ステップ 8.1.2

$x^{2} e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

ステップ 8.1.3

$x^{2} e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

ステップ 8.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 8.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$e^{2 x}$ を $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1.1

$e^{2 x}$ を $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 8.1.5.1.2

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ で因数分解します。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 8.1.5.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 8.1.6

まとめる。

$x y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.7

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.8

$2$ に $2$ をかけます。

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

ステップ 8.2

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{x}$

ステップ 8.2.3.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.3

項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.3.1

$C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.4.2.3

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.4.3

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.5

$\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

ステップ 8.2.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 8.2.3.7

$\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 x}$

微分積分 例

微分積分例