微分積分例

$(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{2} y - y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y - y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x^{2} y - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.3.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2} - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x^{2} - 1 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x^{2} - 1 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2} - 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x^{2} - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{N}$

ステップ 4.3

$- x$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- x$ を $N$ に代入します。

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{- x}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 0}{- x}$

ステップ 4.3.2.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{- x}$

ステップ 4.3.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x}{- x}$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot x$

ステップ 4.3.4

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$- x$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - x d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - x d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int x d x}$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 5.3

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ を $e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ に書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$

ステップ 5.4

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

ステップ 6

$(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{2} y - y$ に $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ をかけます。

$(x^{2} y - y) e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x - x d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x d y = 0$

ステップ 6.3

$- x$ に $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ をかけます。

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

ステップ 8.2

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ を $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.2

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ です。

$- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- y (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{2}$ とします。

$- y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.4.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.5

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- 2 (\frac{1}{2}) x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.9

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{- 2}{2} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.10

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- 2 x}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.11

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.11.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.11.2.3

式を書き換えます。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- x}{1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.11.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.12

$x$ を $1$ 乗します。

$- y (x^{1} x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.13

$x$ を $1$ 乗します。

$- y (x^{1} x^{1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- y (x^{1 + 1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$- y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.16

$- 1$ を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の左に移動させます。

$- y (x^{2} (- 1 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.17

$- 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ に書き換えます。

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.3.18

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.5.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 11.5.4

$\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 12.1.3

$x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ から $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 0 + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 12.1.3.2

$- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 12.1.3.3

$- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 13.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

ステップ 15

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例