微分積分例

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ の各項を $4 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ の各項を $4 x y$ で割ります。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.1

$x$ を $4 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$\frac{x}{4 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 y x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{x}{4 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2.2.2

$4 y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.4

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

ステップ 1.5.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$y$ を $4 x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$x^{2} + 1$ を $x$ で割ります。

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ステップ 2.3.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 2.3.2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 2.3.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 2.3.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 2.3.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 2.3.2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

ステップ 2.3.2.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

まとめる。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.5.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

ステップ 3.4.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

ステップ 3.4.2

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ と $4$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.1.2

対数の中の $4$ を移動させて $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.2

${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

ステップ 3.4.5

$2 C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 3.4.6

$2 C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.8

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

ステップ 3.4.9

$\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.9.1

$x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

ステップ 3.4.9.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.9.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

ステップ 3.4.10

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

ステップ 3.4.11

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

微分積分 例

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