微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.3.4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2.3.5

$u = 3 x^{3} + 1$ とします。次に $d u = 9 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = 3 x^{3} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$3 x^{3} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $3 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} + 0$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2}$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

ステップ 2.3.6.2

$\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

ステップ 2.3.6.3

$9$ を $u^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

ステップ 2.3.8

式を簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1.1

$\frac{1}{9}$ と $9$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.1.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 2.3.8.1.3

$\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 2.3.8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.8.2.1

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.8.2.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.8.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.8.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.8.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 2.3.8.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 2.3.9

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $3 x^{3} + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例