微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 3

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

ステップ 7.5

簡約します。

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ステップ 7.5.1

簡約します。

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

ステップ 7.5.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

ステップ 7.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

ステップ 7.7

項を並べ替えます。

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

ステップ 8

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$\cos (x^{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.3

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ をかけます。

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

ステップ 8.3.1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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