微分積分例

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

ステップ 1

$v = y^{2}$ とします。 $v$ を $y^{2}$ に代入します。

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

ステップ 2

$y^{2}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

ステップ 4

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 4.1

方程式を $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $2 v$ を引きます。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

ステップ 4.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

ステップ 4.6

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

ステップ 5

$P (x) = - 4$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 5.1

積分を設定します。

$e^{\int - 4 d x}$

ステップ 5.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 4 x + C}$

ステップ 5.3

積分定数を削除します。

$e^{- 4 x}$

ステップ 6

各項に積分因数 $e^{- 4 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

各項に $e^{- 4 x}$ を掛けます。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

ステップ 6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

ステップ 6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

ステップ 6.4

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

ステップ 7

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

ステップ 8

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

ステップ 9

左辺を積分します。

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

ステップ 10

右辺を積分します。

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ステップ 10.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

ステップ 10.2

$u = x$ と $d v = e^{- 4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 10.3.2

$x$ と $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

ステップ 10.3.3

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 10.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 10.5

簡約します。

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ステップ 10.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 10.5.2

$\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

ステップ 10.6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

ステップ 10.7

$u = - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.7.1

$u = - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.7.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 10.7.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 10.7.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 10.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

ステップ 10.8

簡約します。

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ステップ 10.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

ステップ 10.8.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 10.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

ステップ 10.10

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

ステップ 10.11

簡約します。

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ステップ 10.11.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 10.11.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 10.12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

ステップ 10.13

簡約します。

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ステップ 10.13.1

$2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ を $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.13.2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.13.2.2

$e^{- 4 x}$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 10.13.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

ステップ 10.14

$u$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15

簡約します。

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ステップ 10.15.1

分配則を当てはめます。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.15.2.1

$- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15.2.3

共通因数を約分します。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15.2.4

式を書き換えます。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

ステップ 10.15.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.15.3.1

$- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

ステップ 10.15.3.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

ステップ 10.15.3.3

共通因数を約分します。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

ステップ 10.15.3.4

式を書き換えます。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

ステップ 10.15.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.15.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

ステップ 10.15.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

ステップ 10.15.5

$- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

ステップ 10.16

項を並べ替えます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

ステップ 11

$v$ について解きます。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

ステップ 11.1.2

$e^{- 4 x}$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

ステップ 11.1.3

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

ステップ 11.2

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ の各項を $e^{- 4 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.1

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ の各項を $e^{- 4 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$e^{- 4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.2

$\frac{1}{e^{- 4 x}}$ に $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ をかけます。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.3

$e^{- 4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.5

$\frac{1}{e^{- 4 x}}$ に $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ をかけます。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.6

$e^{- 4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 11.2.3.1.6.2

式を書き換えます。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 12

$v$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 13

$y$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2

$\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- \frac{x}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.2.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.5

$\frac{- 4 x - 1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.6

$\frac{C}{e^{- 4 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

ステップ 13.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8 e^{- 4 x}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 13.2.7.1

$\frac{- 4 x - 1}{8}$ に $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

ステップ 13.2.7.2

$\frac{C}{e^{- 4 x}}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

ステップ 13.2.7.3

$e^{- 4 x} \cdot 8$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.9.1

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.9.2

$- 1 e^{- 4 x}$ を $- e^{- 4 x}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.9.3

$8$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.10

$\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ を ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.10.1

$- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

ステップ 13.2.10.2

$8 e^{- 4 x}$ から完全累乗 ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

ステップ 13.2.10.3

分数 $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

ステップ 13.2.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

ステップ 13.2.12

$\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ を $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

ステップ 13.2.13

まとめる。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

ステップ 13.2.14

$\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

ステップ 13.2.15

$\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 13.2.16

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.16.1

$\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 13.2.16.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 13.2.16.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 13.2.16.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 13.2.16.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 13.2.16.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 13.2.16.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 13.2.16.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.2.16.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 13.2.16.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.2.16.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.16.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.2.16.7.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

ステップ 13.2.16.7.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

ステップ 13.2.17

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

ステップ 13.2.18

式を簡約します。

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ステップ 13.2.18.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 13.2.18.2

$\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 13.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 13.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 13.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 13.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 14

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

微分積分 例

微分積分例