微分積分例

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y d y$ を引きます。

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

ステップ 2.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x e^{x^{2} + y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

ステップ 2.3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x^{2} + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $x^{2} + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 2.4.2

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 2.4.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

ステップ 2.4.5

$e^{x^{2} + y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

ステップ 3

$N (x, y) = - y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$x e^{x^{2} + y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x e^{x^{2} + y} = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x e^{x^{2} + y} = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$x e^{x^{2} + y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

ステップ 5.3

$x e^{x^{2} + y}$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$x e^{x^{2} + y}$ を $M$ に代入します。

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.3.2

$0$ から $x e^{x^{2} + y}$ を引きます。

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.3.4

$x e^{x^{2} + y}$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.3.4.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - 1 d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

ステップ 6.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

ステップ 7

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- y}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x e^{x^{2} + y}$ に $e^{- y}$ をかけます。

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

ステップ 7.2

指数を足して $e^{x^{2} + y}$ に $e^{- y}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$e^{- y}$ を移動させます。

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

ステップ 7.2.3

$- y + x^{2} + y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.2.3.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

ステップ 7.2.3.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

ステップ 7.3

$- y$ に $e^{- y}$ をかけます。

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

ステップ 9

$M (x, y) = x e^{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 9.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 9.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9.1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 9.1.1.4

簡約します。

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ステップ 9.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 9.1.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 9.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 9.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

ステップ 9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x^{2}}$ で置き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

ステップ 12.3

$\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

ステップ 12.5

$0$ と $\frac{d g}{d y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

ステップ 13

$- y e^{- y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

ステップ 13.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

ステップ 13.4

$u = y$ と $d v = e^{- y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

ステップ 13.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

ステップ 13.6

簡約します。

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ステップ 13.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

ステップ 13.6.2

$\int e^{- y} d y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

ステップ 13.7

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.7.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 13.7.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 13.7.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 13.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 13.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 13.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 13.8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 13.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

ステップ 13.10

$- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ を $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

ステップ 13.11

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

ステップ 13.12

簡約します。

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ステップ 13.12.1

分配則を当てはめます。

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

ステップ 13.12.2

$- (- y e^{- y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.12.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

ステップ 13.12.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

ステップ 13.12.3

$- - e^{- y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.12.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

ステップ 13.12.3.2

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

微分積分 例

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