微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{- 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{- 2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (x^{2} y^{- 2})$

ステップ 1.2

$y^{- 2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y^{- 2}$ を $x^{2} y^{- 2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{2})$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} x^{2})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{- 2}$ を分子に移動させます。

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

微分積分 例

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