微分積分例

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

ステップ 1

$P (x) = \sin (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \sin (x) d x}$

ステップ 1.2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$e^{- \cos (x) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- \cos (x)}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- \cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- \cos (x)}$ を掛けます。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

ステップ 2.3

指数を足して $e^{- \cos (x)}$ に $e^{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

ステップ 2.4

$e^{0}$ を簡約します。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

ステップ 2.5

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ の因数を並べ替えます。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

ステップ 7

$e^{- \cos (x)} y = x + C$ の各項を $e^{- \cos (x)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- \cos (x)} y = x + C$ の各項を $e^{- \cos (x)}$ で割ります。

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- \cos (x)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

微分積分 例

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