微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $- 9$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = e^{- x^{9}}$ とします。次に $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ すると、 $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = e^{- x^{9}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$e^{- x^{9}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

ステップ 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{9}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{9}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

ステップ 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{9}$ で置き換えます。

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

ステップ 2.3.2.1.3

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{9}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ です。

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

ステップ 2.3.2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ の因数を並べ替えます。

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ の因数を並べ替えます。

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

$9$ と $\frac{u_{2}}{9}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.4

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.4.2

$u_{2}$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{9}}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = e^{- x^{9}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = e^{- x^{9}} + K$ の $0$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $e^{- 0^{9}} + K = 2$ として書き換えます。

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- 0} + K = 2$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0} + K = 2$

ステップ 4.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 2 - 1$

ステップ 4.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$K = 1$

ステップ 5

$1$ を $y = e^{- x^{9}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $K$ に代入します。

$y = e^{- x^{9}} + 1$

微分積分 例

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