微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

ステップ 2

$P (x) = - 8$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 8 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 8 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 8 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 8 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 8 x}$ を掛けます。

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

ステップ 3.4

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{- 8 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$e^{- 8 x}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

ステップ 7.3.2

$x$ と $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

ステップ 7.3.3

$e^{- 8 x}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

ステップ 7.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

ステップ 7.5.2

$\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

ステップ 7.6

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

ステップ 7.7

$u = - 8 x$ とします。次に $d u = - 8 d x$ すると、 $- \frac{1}{8} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.7.1

$u = - 8 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.7.1.1

$- 8 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 7.7.1.2

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \cdot 1$

ステップ 7.7.1.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 7.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

ステップ 7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

ステップ 7.8.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

ステップ 7.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

ステップ 7.10

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

ステップ 7.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.11.2

$8$ に $8$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

ステップ 7.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.1

$- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ を $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.13.2.1

$x$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.2

$e^{- 8 x}$ と $\frac{x}{8}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

ステップ 7.13.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{64}$ をまとめます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

ステップ 7.14

$u$ のすべての発生を $- 8 x$ で置き換えます。

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

ステップ 7.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.1

分配則を当てはめます。

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.15.2

$- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.15.2.2

$\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.15.3

$- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.15.3.2

$\frac{e^{- 8 x}}{64}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.15.4

$\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

ステップ 7.16

項を並べ替えます。

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

ステップ 8

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ の各項を $e^{- 8 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ の各項を $e^{- 8 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- 8 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$e^{- 8 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\frac{1}{8} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{- 8 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$\frac{1}{64}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{8} x$ と $\frac{1}{64}$ をたし算します。

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ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{8}$ と $x$ を並べ替えます。

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.2.2

$x \frac{1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{64}{64}$ を掛けます。

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.2.3

$x \frac{1}{8}$ と $\frac{64}{64}$ をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.3.1

$x$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.3.2

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$8$ を $64$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.3.3

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.4

$\frac{8 x + 1}{64}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ を掛けます。

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.5

$\frac{C}{e^{- 8 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{64}{64}$ を掛けます。

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

ステップ 8.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $64 e^{- 8 x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

$\frac{8 x + 1}{64}$ に $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ をかけます。

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

ステップ 8.3.6.2

$\frac{C}{e^{- 8 x}}$ に $\frac{64}{64}$ をかけます。

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

ステップ 8.3.6.3

$e^{- 8 x} \cdot 64$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.8.2

$e^{- 8 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

ステップ 8.3.8.3

$64$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$

微分積分 例

微分積分例