微分積分例

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

ステップ 1

$v = e^{4 y}$ とします。 $v$ を $e^{4 y}$ に代入します。

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

ステップ 2

$e^{4 y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $4 y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

ステップ 2.4

$e^{4 y} (4 y')$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

ステップ 3

$v$ を $e^{4 y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

ステップ 5

方程式の両辺から $3 v$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

ステップ 6

$P (x) = - 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.1

積分を設定します。

$e^{\int - 3 d x}$

ステップ 6.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 3 x + C}$

ステップ 6.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 x}$

ステップ 7

各項に積分因数 $e^{- 3 x}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

各項に $e^{- 3 x}$ を掛けます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

ステップ 7.4

指数を足して $e^{- 3 x}$ に $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$e^{3 x}$ を移動させます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

ステップ 7.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

ステップ 7.4.3

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

ステップ 7.5

$2 e^{0} x$ を簡約します。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

ステップ 7.6

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

ステップ 8

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

ステップ 9

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

ステップ 10

左辺を積分します。

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

ステップ 11

右辺を積分します。

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ステップ 11.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

ステップ 11.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 11.3

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 11.3.2

簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

ステップ 11.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

ステップ 12

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.1

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 12.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 13

$v$ のすべての発生を $e^{4 y}$ で置き換えます。

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 14

$y$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

ステップ 14.2

左辺を展開します。

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ステップ 14.2.1

$4 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{4 y})$ を展開します。

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

ステップ 14.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

ステップ 14.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

ステップ 14.3

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 14.3.1

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

ステップ 14.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 14.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

ステップ 14.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

微分積分 例

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