微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{3} = \cos (e^{2 x})$ とします。次に $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{3} = \cos (e^{2 x})$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$\cos (e^{2 x})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

ステップ 2.3.2.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x}$ で置き換えます。

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.2.1.4

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.2.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.2.1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.4.4.1

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

ステップ 2.3.2.1.4.4.2

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

ステップ 2.3.2.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

ステップ 2.3.3.2

$u_{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.7.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.7.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 2.3.8

べき乗則では、 $u_{3}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ です。

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

$- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ を $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2

簡約します。

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ステップ 2.3.9.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.9.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.9.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{3}$ のすべての発生を $\cos (e^{2 x})$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$

微分積分 例

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