微分積分例

$69 x d y + 420 y d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $420 y d x$ を引きます。

$69 x d y = - 420 y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3.2

$69$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.5

$- 420$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

ステップ 3.6

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$69$ は $y$ に対して定数なので、 $69$ を積分の外に移動させます。

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$420$ は $x$ に対して定数なので、 $420$ を積分の外に移動させます。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.3

$420$ に $- 1$ をかけます。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $69$ を移動させて $69 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

対数の中の $420$ を移動させて $420 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{420}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

ステップ 5.2.1.3

$\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ として書き換えます。

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ の各項を $x^{420}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ の各項を $x^{420}$ で割ります。

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$x^{420}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

${| y |}^{69}$ を $1$ で割ります。

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

ステップ 5.5.4

$\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$\frac{e^{C}}{x^{420}}$ を ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1

$e^{C}$ から完全累乗 $1^{69}$ を因数分解します。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

ステップ 5.5.4.1.2

$x^{420}$ から完全累乗 ${(x^{6})}^{69}$ を因数分解します。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.1.3

分数 $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ を並べ替えます。

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.3

$\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ を $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.4.1

まとめる。

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.4.2

$\sqrt[69]{e^{C}}$ に $1$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

ステップ 5.5.4.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.5.1

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

ステップ 5.5.4.5.2

$\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ を $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

ステップ 5.5.4.5.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

ステップ 5.5.4.6

$\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

ステップ 5.5.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.7.1

$\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

ステップ 5.5.4.7.2

$\sqrt[23]{x^{2}}$ を移動させます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

ステップ 5.5.4.7.3

$\sqrt[23]{x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

ステップ 5.5.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

ステップ 5.5.4.7.5

$1$ と $22$ をたし算します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

ステップ 5.5.4.7.6

${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ を $x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[23]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{23}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

ステップ 5.5.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

ステップ 5.5.4.7.6.3

$\frac{2}{23}$ と $23$ をまとめます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.4

$2$ に $23$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.5

$46$ と $23$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.7.6.5.1

$23$ を $46$ で因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.7.6.5.2.1

$23$ を $23$ で因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.5.2.3

式を書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 5.5.4.7.6.5.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

ステップ 5.5.4.8

指数を足して $x^{6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.8.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

ステップ 5.5.4.8.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.9.1

${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ を $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.2

${(x^{2})}^{22}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.2.2

$2$ に $22$ をかけます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.3

$x^{23}$ を因数分解します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.4

累乗根の下から項を取り出します。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.9.5.1

最小共通指数 $69$ を利用して式を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.9.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[23]{x^{21}}$ を $x^{\frac{21}{23}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.5.1.2

$x^{\frac{21}{23}}$ を $x^{\frac{63}{69}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.5.1.3

$x^{\frac{63}{69}}$ を $\sqrt[69]{x^{63}}$ に書き換えます。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.9.5.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.10

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.10.1

$x$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.10.1.1

$x$ を $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ で因数分解します。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

ステップ 5.5.4.10.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.10.1.2.1

$x$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

ステップ 5.5.4.10.1.2.2

共通因数を約分します。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

ステップ 5.5.4.10.1.2.3

式を書き換えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

ステップ 5.5.4.10.2

$\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

ステップ 5.5.5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$

微分積分 例

微分積分例