微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.2

$x^{2}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 2.3.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.3.2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 2.3.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 2.3.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 2.3.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 2.3.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (x - \arctan (x) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $- 2 \arctan (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

ステップ 3.4.4

$2$ を $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

ステップ 3.4.5

$2$ を $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

微分積分 例

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