微分積分例

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

ステップ 1

すべての解が $x = e^{r y}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

ステップ 2.4

$y (r^{2} e^{r y})$ の因数を並べ替えます。

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

ステップ 2.5

$e^{r y}$ を $y r^{2} e^{r y}$ で因数分解します。

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r y}$ で割ります。

$y r^{2} = y^{2} + 1$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$y r^{2} = y^{2} + 1$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.2.1.2

$r^{2}$ を $1$ で割ります。

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3.1.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3.1.2.4

式を書き換えます。

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

ステップ 3.1.3.1.2.5

$y$ を $1$ で割ります。

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

ステップ 3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

ステップ 3.3.3

$y$ に $y$ をかけます。

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

ステップ 3.3.4

$\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ を $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

ステップ 3.3.5

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

ステップ 3.3.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

ステップ 3.3.6.2

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

ステップ 3.3.6.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

ステップ 3.3.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

ステップ 3.3.6.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.6.6.4.2

式を書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

ステップ 3.3.6.6.5

簡約します。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

ステップ 3.3.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

ステップ 3.3.8

$\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ の因数を並べ替えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$

微分積分 例

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