微分積分例

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x (1 + x^{2}) d x$ を引きます。

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.2

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.4

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.1.7

$y$ と $y^{3}$ を並べ替えます。

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$

微分積分 例

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