微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = \csc (7 θ)$ とします。次に $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ すると、 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = \csc (7 θ)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d θ}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$\csc (7 θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$f (θ) = \csc (θ)$ および $g (θ) = 7 θ$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $7 θ$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

ステップ 2.3.1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $7 θ$ で置き換えます。

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

ステップ 2.3.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

$7$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $7 θ$ の微分係数は $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.4.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

ステップ 2.3.1.1.3.4.2

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ の因数を並べ替えます。

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{7}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $\csc (7 θ)$ で置き換えます。

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ の $\frac{π}{4}$ を $θ$ に、 $3$ を $r$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ として書き換えます。

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$7$ と $\frac{π}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.3

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.4

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.5

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.5.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.6

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

ステップ 4.2.1.7.5

指数を求めます。

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.8.1

$- \frac{1}{14}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.8.2

$2$ を $14$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

ステップ 4.2.1.8.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

ステップ 4.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{7} + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{1}{7}$ を足します。

$K = 3 + \frac{1}{7}$

ステップ 4.3.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

ステップ 4.3.3

$3$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$3$ に $7$ をかけます。

$K = \frac{21 + 1}{7}$

ステップ 4.3.5.2

$21$ と $1$ をたし算します。

$K = \frac{22}{7}$

ステップ 5

$\frac{22}{7}$ を $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{22}{7}$ を $K$ に代入します。

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

ステップ 5.2

$\csc^{2} (7 θ)$ と $\frac{1}{14}$ をまとめます。

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$

微分積分 例

微分積分例