微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{\frac{1}{2}}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{2}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{2}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{2}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{2}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $v$ とします。

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.3

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = 2 v v'$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ の $2 v v'$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{2}$ を $y$ に代入します。

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 7.1

変数を分けます。

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ステップ 7.1.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

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ステップ 7.1.1.1

$6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 7.1.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 7.1.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

ステップ 7.1.1.1.2

簡約します。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

ステップ 7.1.1.2

方程式の両辺から $x v^{2}$ を引きます。

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

ステップ 7.1.1.3

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ の各項を $2 v$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ の各項を $2 v$ で割ります。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2.2.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.1.1

$2$ を $6 x v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.1.2.1

$2$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.2.2

$3 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.3

$v^{2}$ と $v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.3.1

$v$ を $- x v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1.3.2.1

$v$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

ステップ 7.1.1.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

ステップ 7.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$x$ を $3 x - \frac{x v}{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

ステップ 7.1.2.1.2

$x$ を $- \frac{x v}{2}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

ステップ 7.1.2.1.3

$x$ を $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

ステップ 7.1.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

ステップ 7.1.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

ステップ 7.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

ステップ 7.1.2.5

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

ステップ 7.1.3

両辺に $\frac{2}{6 - v}$ を掛けます。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

ステップ 7.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$x$ と $\frac{6 - v}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

ステップ 7.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

ステップ 7.1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

ステップ 7.1.4.3

$6 - v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.3.1

$6 - v$ を $x (6 - v)$ で因数分解します。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

ステップ 7.1.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

ステップ 7.1.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

ステップ 7.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

ステップ 7.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

ステップ 7.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

ステップ 7.2.2.2

$u_{2} = 6 - v$ とします。次に $d u_{2} = - d v$ すると、 $- d u_{2} = d v$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$u_{2} = 6 - v$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 7.2.2.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

ステップ 7.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

ステップ 7.2.2.4

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

ステップ 7.2.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

ステップ 7.2.2.7

簡約します。

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 7.2.2.8

$u_{2}$ のすべての発生を $6 - v$ で置き換えます。

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 7.2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 7.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.2.1.2

$\ln (| 6 - v |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.3

まとめる。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 7.3.1.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

ステップ 7.3.2

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

ステップ 7.3.3

対数の定義を利用して $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

ステップ 7.3.4

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

方程式を $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ として書き換えます。

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

ステップ 7.3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

ステップ 7.3.4.3

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

ステップ 7.3.4.4

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.4.1

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 7.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 7.3.4.4.2.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 7.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 7.3.4.4.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ を $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ に書き換えます。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 7.3.4.4.3.1.3

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

ステップ 7.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

積分定数を簡約します。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

ステップ 7.4.2

$e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ を $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ に書き換えます。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

ステップ 7.4.3

$e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

ステップ 7.4.4

定数を正または負でまとめます。

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

ステップ 8

$y^{\frac{1}{2}}$ を $v$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

微分積分 例

微分積分例