微分積分例

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 1

各辺の積分を設定します。

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.3

簡約します。

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 3.2

$x^{2} + 1$ を $x$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 3.2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 3.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 3.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 3.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 3.2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

ステップ 3.2.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 3.6.2

簡約します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

ステップ 4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

微分積分 例

微分積分例