微分積分例

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $y \ln (x)$ を引きます。

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

ステップ 1.1.2

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

ステップ 1.1.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln^{2} (x)$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

ステップ 3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ を $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

微分積分 例

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