微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $2 y \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

ステップ 1.2

$y$ と $2 \tan (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

ステップ 2

$P (x) = 2 \tan (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

ステップ 2.2

$2 \tan (x)$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

ステップ 2.2.2

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.6

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.7

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.9

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.10

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.11

まとめる。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.12

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.12.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.2.13

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

ステップ 3.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

ステップ 3.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 3.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.2

分数を分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.4

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.5

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.6

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.8

$\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.9

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.10

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.11

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.12

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.13.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.13.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.14

$\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.14.1

$\tan (x)$ と $\frac{2 y}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.14.2

$\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.15

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.16

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.17

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.18.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.18.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.19

$(2 y) \sec (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.20

$2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.20.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.20.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.20.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.7.20.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.8

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 3.9

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 3.11

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 3.12

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 7

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

ステップ 8

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ の各項を $\sec^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ の各項を $\sec^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\sec^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\sec (x)$ と $\sec^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例