微分積分例

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.4.2

$- 2 \cos (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

ステップ 2.5

項をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

ステップ 2.5.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

ステップ 3

$N (x, y) = x + 1$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 = 1$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 - 1}{N}$

ステップ 5.3

$x + 1$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$x + 1$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

ステップ 5.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x + 1}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 6.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

ステップ 6.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | u | + C$

ステップ 6.5

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

ステップ 7

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x + 1$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$2 y + 1 - 2 \cos (x)$ に $x + 1$ をかけます。

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ を展開します。

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.3.3

$1$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.4

$2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.5

$x + 1$ に $x + 1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

ステップ 7.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

分配則を当てはめます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

ステップ 7.6.2

分配則を当てはめます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

ステップ 7.6.3

分配則を当てはめます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

ステップ 7.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

ステップ 7.7.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

ステップ 7.7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

ステップ 7.7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

ステップ 7.7.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

ステップ 9

$N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.2

総和則では、 $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(x^{2} + 2 x + 1) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.2

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.3.8

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

分配則を当てはめます。

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.5.2.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 12.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

ステップ 13.1.3

$2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

$2 y x$ と $- 2 x y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

ステップ 13.1.3.2

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

ステップ 13.1.3.3

$2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

ステップ 13.1.3.4

$2 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

ステップ 13.1.3.5

$x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 14

$x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.5

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.7

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.8

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

ステップ 14.9

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

ステップ 14.10

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

ステップ 14.11

簡約します。

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

ステップ 14.12

項を並べ替えます。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

ステップ 16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

ステップ 16.2

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

ステップ 16.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

微分積分 例

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