微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

ステップ 1.2

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\cos^{2} (y)$ を $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を $\sec^{2} (y)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

ステップ 2.2.2

$\tan (y)$ の微分係数が $\sec^{2} (y)$ なので、 $\sec^{2} (y)$ の積分は $\tan (y)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

ステップ 3.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $K$ を並べ替えます。

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$

微分積分 例

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