微分積分例

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(y - 1) d x$ を引きます。

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

ステップ 3.3

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

ステップ 3.3.2

$y - 1$ を $x^{2} (y - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = y - 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u = y - 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 4.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 4.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 4.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{2})$ を $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2

簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

ステップ 5.2

対数の定義を利用して $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

ステップ 5.3

$y$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ として書き換えます。

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

ステップ 5.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

$e^{\frac{1}{x} + C}$ を $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

ステップ 6.2

$e^{\frac{1}{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

ステップ 6.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$

微分積分 例

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