微分積分例

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x^{2} y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + y (2 x)$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.5

括弧を削除します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

ステップ 1.6

$y$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 5.3

単一積分を複数積分に分割します。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 5.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 5.6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 5.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 5.8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 5.9

簡約します。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 5.10

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 5.11

簡約します。

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ステップ 5.11.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 5.11.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 5.11.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 5.11.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.11.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 5.11.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 5.12

項を並べ替えます。

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 6

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

$x$ を $\frac{1}{2} x$ で因数分解します。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

$\frac{1}{4}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.6

まとめる。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 6.3.1.7

$\sin (2 x)$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

微分積分 例

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