微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.3

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.4

$e^{x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.5

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.7.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.7.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.8

$\int e^{x} \sin (x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ であることが分かります。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.9

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3.10

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11

簡約します。

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ステップ 2.3.11.1

簡約します。

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ステップ 2.3.11.1.1

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ と $x \sin (x)$ をたし算します。

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ステップ 2.3.11.1.1.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11.1.1.2

$x \sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11.1.1.3

$x \sin (x)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11.1.2

$2$ を $x \sin (x)$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.11.2

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.3.11.3

簡約します。

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ステップ 2.3.11.3.1

$\cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.11.3.2

$\cos (x)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.11.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.11.3.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.11.4

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$

微分積分 例

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