微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\ln (x)$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

ステップ 2

$P (x) = 6$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 6 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{6 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{6 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{6 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{6 x}$ を掛けます。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

ステップ 3.4

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ の因数を並べ替えます。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

ステップ 7.2

$u = \ln (x)$ と $d v = e^{6 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7.3.2

$\ln (x)$ と $\frac{e^{6 x}}{6}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7.3.4

$\frac{e^{6 x}}{6}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

ステップ 7.4

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

ステップ 7.5

$u = 6 x$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = 6 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 7.5.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{u}{6}$ で割ります。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

ステップ 7.6.2

$e^{u}$ と $\frac{6}{u}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

ステップ 7.6.3

$6$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

ステップ 7.6.4

$\frac{6 e^{u}}{u}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

ステップ 7.6.5

$6$ を $u$ の左に移動させます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

ステップ 7.6.6

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.6.1

共通因数を約分します。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

ステップ 7.6.6.2

式を書き換えます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

ステップ 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ は特殊な積分です。この積分は指数積分関数です。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

ステップ 7.8

$- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ を $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ に書き換えます。

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ を掛けます。

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ステップ 8.1.1.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

ステップ 8.1.1.2

$\frac{\ln (x)}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

ステップ 8.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

ステップ 8.1.3

$- - \frac{E i u}{6}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

ステップ 8.1.3.2

$\frac{E i u}{6}$ に $1$ をかけます。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

ステップ 8.1.4

$- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ の因数を並べ替えます。

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

ステップ 8.2

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ の各項を $e^{6 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ の各項を $e^{6 x}$ で割ります。

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2

$e^{6 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.2.1

$- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2.2

$e^{6 x}$ を $- e^{6 x} \ln (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.3

$\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ を $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.4

対数の中の $- \frac{- 1}{6}$ を移動させて $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ を簡約します。

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.6

$- - \frac{1}{6}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.6.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.8

まとめる。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

ステップ 8.2.3.1.9

$E$ に $1$ をかけます。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

微分積分 例

微分積分例