微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{3}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 2}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{2}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

ステップ 4.5

簡約します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.7.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.10

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ と $v^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.15

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

ステップ 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

ステップ 4.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

ステップ 4.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{v}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

ステップ 4.19

$v$ を $1$ 乗します。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.22

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 4.23

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$ の $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{2}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の各項に $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の各項に $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$2 v^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.1.2

$2 v^{\frac{3}{2}}$ を $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.4

指数を足して $v^{- \frac{1}{2}}$ に $v^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.4.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.4.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.5

$- v^{1} (- 1 \cdot (2))$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 2 = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.2.1.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.3.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.3.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.4

指数を足して $v^{- \frac{3}{2}}$ に $v^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

ステップ 6.1.3.4.4

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

ステップ 6.1.3.4.5

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{0}$

ステップ 6.1.3.5

$- 2 x v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x$

ステップ 6.2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 6.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 6.3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (- 2 x)$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (- 2 x)$

ステップ 6.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$

ステップ 6.3.4

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = - 2 x e^{2 x}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = - 2 x e^{2 x}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int - 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$e^{2 x} v = \int - 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

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ステップ 6.7.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = - 2 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 6.7.2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} v = - 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.7.3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 6.7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 6.7.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 6.7.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 6.7.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 6.7.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 6.7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.7.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 6.7.10

$- 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $- 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 6.7.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 6.7.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 6.7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 6.7.12.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 6.7.12.2

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} v = - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 6.7.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 6.7.12.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 6.7.12.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 6.7.12.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 6.7.12.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 6.7.12.4.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 6.7.12.4.4

共通因数を約分します。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 6.7.12.4.5

式を書き換えます。

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.5.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.5.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.6

$- x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.7

$- x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.8

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.9.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.12.9.1.1

$e^{2 x}$ を $- x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 6.7.12.9.1.2

$1$ を掛けます。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C$

ステップ 6.7.12.9.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

ステップ 6.7.12.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

ステップ 6.7.12.10

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2} + C$

ステップ 6.7.12.11

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2} + C$

ステップ 6.7.12.12

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2} + C$

ステップ 6.7.12.13

$- (2 x - 1)$ を $- 1 (2 x - 1)$ に書き換えます。

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2} + C$

ステップ 6.7.12.14

分数の前に負数を移動させます。

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

ステップ 6.7.13

括弧を削除します。

$e^{2 x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

ステップ 6.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$

ステップ 6.8.2

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.2.1

$- \frac{e^{2 x}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 (x)) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{- e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.3

$- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$v = \frac{- e^{2 x} x + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{- e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.4

公分母を利用して $- e^{2 x} x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.4.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.4.2

$- 1 x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.4.3

$- 1 x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.5.1

$e^{2 x}$ を $- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.2.5.1.1

$e^{2 x}$ を $- 1 x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.5.1.2

$1$ を掛けます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.5.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.5.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.2.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.3

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.4.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.5.3

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.5.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.6.1

$- 1$ を $- 2 e^{2 x} x$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.2

$- 1$ を $e^{2 x}$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.3

$- 1$ を $- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x})$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.4

$- 1$ を $2 C$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.5

$- 1$ を $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)$ で因数分解します。

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.6.6.1

$- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ を $- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ に書き換えます。

$v = \frac{\frac{- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$v = \frac{- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.6.6.3

$- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}$ の因数を並べ替えます。

$v = \frac{- \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.8

$\frac{1}{e^{2 x}}$ に $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}$ をかけます。

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{e^{2 x} \cdot 2}$

ステップ 6.8.2.3.9

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

ステップ 7

$y^{- 2}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 2} = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例