微分積分例

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{y}{e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

ステップ 1.3.2

まとめる。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

ステップ 1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

ステップ 1.3.4

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

ステップ 1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

ステップ 1.3.5

$\sin (θ)$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

ステップ 1.3.6

分数を分解します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

ステップ 1.3.7

正弦と余弦に関して $\sec (θ)$ を書き換えます。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

ステップ 1.3.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (θ)}$ で割ります。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

ステップ 1.3.9

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

ステップ 1.3.10

$\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ を掛けます。

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ステップ 1.3.10.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 1.3.10.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

ステップ 1.3.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

ステップ 1.3.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

ステップ 1.4

不要な括弧を削除します。

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\frac{y}{e^{y}}$ と $7$ をまとめます。

$\int \frac{y \cdot 7}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.1.2

$7$ を $y$ の左に移動させます。

$\int \frac{7 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.2

$7$ は $y$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$e^{y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$7 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.3.2

${(e^{y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.3.2.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$7 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.3.2.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$7 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.4

$u = y$ と $d v = e^{- y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$7 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$7 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$7 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.6.2

$\int e^{- y} d y$ に $1$ をかけます。

$7 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.7

$u_{1} = - y$ とします。次に $d u_{1} = - d y$ すると、 $- d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.7.1

$u_{1} = - y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.7.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.2.7.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.2.7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$7 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.8

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$7 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.9

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.10

$7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ を $7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ に書き換えます。

$7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.2.11

$u_{1}$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = \sin (θ)$ とします。次に $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ すると、 $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = \sin (θ)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d θ}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$\sin (θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$\cos (θ)$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (θ)$ で置き換えます。

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$

微分積分 例

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