微分積分例

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x + x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

ステップ 1.4

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 2

$N (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - x}{M}$

ステップ 4.3

$2 x + x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 x + x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

ステップ 4.3.2

$0$ から $x$ を引きます。

$\frac{- x}{2 x + x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $2 x + x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (y)$ で因数分解します。

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

ステップ 4.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{2 + y}$

ステップ 4.3.5

$2 x + x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{2 + y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

ステップ 5.2

$u = 2 + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$u = 2 + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

ステップ 5.2.1.2

総和則では、 $2 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.2.1.3

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 5.4

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

ステップ 5.5

$u$ のすべての発生を $2 + y$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| 2 + y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

ステップ 6

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{2 + y}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2 x + x y$ に $\frac{1}{2 + y}$ をかけます。

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x + x y$ に $\frac{1}{2 + y}$ をかけます。

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.3

$x$ を $2 x + x y$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (y)$ で因数分解します。

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.4

$2 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x d x + y d y = 0$

ステップ 6.5

$y$ に $\frac{1}{2 + y}$ をかけます。

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

ステップ 6.6

$y$ と $\frac{1}{2 + y}$ をまとめます。

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x d x$

ステップ 8

$M (x, y) = x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 11.3

$\frac{1}{2} x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 11.5

$0$ と $\frac{d g}{d y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

ステップ 12

$\frac{y}{2 + y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

ステップ 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

ステップ 12.3

$2$ と $y$ を並べ替えます。

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

ステップ 12.4

$y$ を $y + 2$ で割ります。

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ステップ 12.4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$2$

$y$

$0$

ステップ 12.4.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

ステップ 12.4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

ステップ 12.4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 2$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

ステップ 12.4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

ステップ 12.4.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

ステップ 12.5

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

ステップ 12.6

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

ステップ 12.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

ステップ 12.8

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

ステップ 12.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

ステップ 12.10

$u = y + 2$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.10.1

$u = y + 2$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.10.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 12.10.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 12.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 12.10.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 12.10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 12.10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12.11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12.12

簡約します。

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

ステップ 12.13

$u$ のすべての発生を $y + 2$ で置き換えます。

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

ステップ 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

ステップ 14.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| y + 2 |)$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

ステップ 14.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y + 2 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

ステップ 14.2

$- \ln ({(y + 2)}^{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 14.3

$- \ln ({(y + 2)}^{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.5

分子を簡約します。

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ステップ 14.5.1

$- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 14.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

ステップ 14.5.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ を簡約します。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2

${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 14.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

ステップ 14.5.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例