微分積分例

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

ステップ 1.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

ステップ 1.3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

ステップ 1.3.2

$e^{- x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{x y}{x - 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{x}{x - 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{x}{x - 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{x}{x - 1}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 2.2.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 2.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

ステップ 2.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

ステップ 2.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

ステップ 2.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

ステップ 2.2.4

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x + \ln (x - 1)}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x + \ln (x - 1)}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{x + \ln (x - 1)}$ を掛けます。

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{x}{x - 1}$ と $y$ をまとめます。

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.2.2

$e^{x + \ln (x - 1)}$ と $\frac{x y}{x - 1}$ をまとめます。

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.3

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$e^{x + \ln (x - 1)}$ を $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$e^{x + \ln (x - 1)}$ を $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5.1.2

$e^{x + \ln (x - 1)}$ を $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5.1.3

$e^{x + \ln (x - 1)}$ を $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5.3

$- 1$ を $\frac{d y}{d x}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.5.4

$- 1 \frac{d y}{d x}$ を $- \frac{d y}{d x}$ に書き換えます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

ステップ 3.6

指数を足して $e^{x + \ln (x - 1)}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

ステップ 3.6.2

$x + \ln (x - 1) - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.6.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

ステップ 3.6.2.2

$0$ と $\ln (x - 1)$ をたし算します。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

ステップ 3.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

ステップ 3.8

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

ステップ 7.3

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

ステップ 7.4

簡約します。

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

ステップ 8

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ の各項を $e^{x + \ln (x - 1)}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ の各項を $e^{x + \ln (x - 1)}$ で割ります。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{x + \ln (x - 1)}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

ステップ 8.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

微分積分 例

微分積分例