微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = 12 e^{2 x} y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 1}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

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ステップ 4.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + y = 12 e^{2 x} y^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.2.1.6

$- v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} v^{- 2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.3.2

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.2.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

ステップ 6.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

ステップ 6.1.3.2.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} v^{0} \cdot - 1$

ステップ 6.1.3.3

$12 e^{2 x} v^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - v = 12 e^{2 x} \cdot - 1$

ステップ 6.1.3.4

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = - 12 e^{2 x}$

ステップ 6.2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 6.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 6.3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 12 e^{2 x})$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 12 e^{2 x})$

ステップ 6.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 12 e^{- x} e^{2 x}$

ステップ 6.3.4

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.4.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 12 (e^{2 x} e^{- x})$

ステップ 6.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 12 e^{2 x - x}$

ステップ 6.3.4.3

$2 x$ から $x$ を引きます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 12 e^{x}$

ステップ 6.3.5

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 12 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 12 e^{x}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 12 e^{x}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 12 e^{x} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$e^{- x} v = \int - 12 e^{x} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

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ステップ 6.7.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $- 12$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} v = - 12 \int e^{x} d x$

ステップ 6.7.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{- x} v = - 12 (e^{x} + C)$

ステップ 6.7.3

簡約します。

$e^{- x} v = - 12 e^{x} + C$

ステップ 6.8

$e^{- x} v = - 12 e^{x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.8.1

$e^{- x} v = - 12 e^{x} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 12 e^{x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.8.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 12 e^{x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{- 12 e^{x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.8.3.1

$e^{x}$ と $e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.3.1.1

$e^{- x}$ を $- 12 e^{x}$ で因数分解します。

$v = \frac{e^{- x} (- 12 e^{2 x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$v = \frac{e^{- x} (- 12 e^{2 x})}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$v = \frac{e^{- x} (- 12 e^{2 x})}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$v = \frac{- 12 e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 6.8.3.1.2.4

$- 12 e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$v = - 12 e^{2 x} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7

$y^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 1} = - 12 e^{2 x} + \frac{C}{e^{- x}}$

微分積分 例

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