微分積分例

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ の各項を $4 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ の各項を $4 x y$ で割ります。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$y$ を $4 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$\frac{y}{4 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{4 x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

ステップ 1.2.4.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

ステップ 1.2.4.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ を掛けます。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

ステップ 1.5.2

$4 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$4 y$ を $4 y x$ で因数分解します。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

ステップ 1.5.3

$(y + 1) (y - 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$u = (y + 1) (y - 1)$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = (y + 1) (y - 1)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

ステップ 2.2.2.1.2

$f (y) = y + 1$ および $g (y) = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3

微分します。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.4.2

$y + 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.2.1.3.5

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 2.2.2.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 2.2.2.1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

ステップ 2.2.2.1.3.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.3.8.2

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + y - 1$

ステップ 2.2.2.1.3.8.3

$y$ と $y$ をたし算します。

$2 y + 1 - 1$

ステップ 2.2.2.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 y + 0$

ステップ 2.2.2.1.3.8.4.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.8

$u$ のすべての発生を $(y + 1) (y - 1)$ で置き換えます。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例