微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y^{3}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (8 x^{3} y^{3})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y^{3}} (x^{3} y^{3})$

ステップ 1.2.2

$8$ と $\frac{1}{y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (x^{3} y^{3})$

ステップ 1.2.3

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$y^{3}$ を $x^{3} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (y^{3} x^{3})$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (y^{3} x^{3})$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3}} d y = 8 x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 3} d y = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$8$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y^{2}, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y^{2}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$ の各項に $2 y^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 2 \cdot 2 x^{4} y^{2} + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 1 = 4 x^{4} y^{2} + K (2 y^{2})$

ステップ 3.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ として書き換えます。

$4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2

$2 y^{2}$ を $4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$2 y^{2}$ を $4 x^{4} y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 K y^{2} = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$2 y^{2}$ を $2 K y^{2}$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 y^{2} K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$2 y^{2}$ を $2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 y^{2} K$ で因数分解します。

$2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$ の各項を $2 (2 x^{4} + K)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$ の各項を $2 (2 x^{4} + K)$ で割ります。

$\frac{2 y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 (2 x^{4} + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 (2 x^{4} + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2

$2 x^{4} + K$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

ステップ 3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。