微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

ステップ 1.1.3.2

$- y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y + 1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.3

項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- y$ と $\frac{y + 1}{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.4.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4.4

$y$ から $y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.4.5

$- 1 - y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.5.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.5.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

ステップ 1.1.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.3.7

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.4.2

$\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

ステップ 1.4.3

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

ステップ 1.4.3.2

$y + 1$ を $- (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

ステップ 1.4.3.3

$y + 1$ を $(y + 1) x$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

ステップ 1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

ステップ 1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

ステップ 1.4.4

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

ステップ 1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数 $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$u = 1 + y^{2}$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.3.1

$u = 1 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.3.1.1

$1 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

ステップ 2.2.3.1.2

総和則では、 $1 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.3.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.3.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 2.2.3.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.9

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.10

$u$ のすべての発生を $1 + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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