微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 4$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

ステップ 2.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

ステップ 6.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

ステップ 6.3

簡約します。

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

ステップ 7

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ の $0$ を $x$ に、 $4$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$4 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 4$ として書き換えます。

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 4$

ステップ 9.2

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 4$

ステップ 9.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 1 + \frac{C}{1} = 4$

ステップ 9.2.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$- 1 + C = 4$

ステップ 9.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$C = 4 + 1$

ステップ 9.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$C = 5$

ステップ 10

$5$ を $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$5$ を $C$ に代入します。

$y = x - 1 + \frac{5}{e^{x}}$

微分積分 例

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