微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x^{2} y^{3}$ を $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} y^{3}$ を $x^{3} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

ステップ 1.1.2

$x^{2} y^{3}$ を $- x^{2} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

ステップ 1.1.3

$x^{2} y^{3}$ を $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

ステップ 1.2

$x$ を $x + x y^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

ステップ 1.2.3

$x$ を $x y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (y^{4})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

ステップ 1.2.5

$x$ に $1 + y^{4}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$x$ を $x^{2} (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.1.2.5

$x (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.4

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

ステップ 1.5.6

$x^{2} - x$ に $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ をかけます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

ステップ 1.5.7

$1 + y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

ステップ 1.5.7.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

ステップ 1.5.8

$y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.8.1

$y^{3}$ を $(x^{2} - x) y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

ステップ 1.5.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

ステップ 1.5.8.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.2

$(1 + y^{4}) y^{- 3}$ を掛けます。

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$y^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.3.2

指数を足して $y^{4}$ に $y^{- 3}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.3.3

$y^{1}$ を簡約します。

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y^{- 3}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.6

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

簡約します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.7.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.2.8

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$

微分積分 例

微分積分例