微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $6 x - x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

ステップ 1.2.2.3

$x$ を $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

ステップ 2.3.2

$u = 6 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 6 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$6 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

総和則では、 $6 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.3.2.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2

簡約します。

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ステップ 2.3.8.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.8.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $6 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$K$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

ステップ 3.2.2.1.4

$8$ を $K$ の左に移動させます。

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.5.1

$- 1$ を $- {(6 - x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5.2

$- 1$ を $8 K$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5.3

$- 1$ を $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.5.4.1

$- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ を $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ に書き換えます。

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

ステップ 3.2.2.1.5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ を $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ を展開します。

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ステップ 3.4.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.1.7

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.3.2

$- 6 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

ステップ 3.4.4

$- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ を ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.4.1

$36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

ステップ 3.4.4.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.4.3

分数 $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

ステップ 3.4.4.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

ステップ 3.4.4.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

ステップ 3.4.4.6

括弧を付けます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

ステップ 3.4.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

ステップ 3.4.6

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

ステップ 3.4.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例