微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$2$ を $\frac{2 x^{3}}{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.1.3

$2$ を $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.4

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

ステップ 3.4.6

$\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.7

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

$\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.8.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.8.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.4.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.8.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.4.8.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.4.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

ステップ 3.4.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(0, 3)$ で正なので、 $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入します。

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

ステップ 6.2

両辺に $3$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

ステップ 6.3.1.1.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

ステップ 6.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

ステップ 6.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{6 K} = 9$

ステップ 6.4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

ステップ 6.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 K}$ を ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

ステップ 6.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

ステップ 6.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

簡約します。

$6 K = 9^{2}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$9$ を $2$ 乗します。

$6 K = 81$

ステップ 6.4.3

$6 K = 81$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$6 K = 81$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

ステップ 6.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

ステップ 6.4.3.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{81}{6}$

ステップ 6.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.3.1

$81$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.3.1.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$K = \frac{3 (27)}{6}$

ステップ 6.4.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

ステップ 6.4.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

ステップ 6.4.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$K = \frac{27}{2}$

ステップ 7

$\frac{27}{2}$ を $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{27}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

ステップ 7.2.2

$x^{3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

ステップ 7.2.4

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

ステップ 7.2.5

$6$ と $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

ステップ 7.2.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1.1

$2$ を $6 (2 x^{3} + 27)$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

ステップ 7.2.6.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

ステップ 7.2.6.1.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

ステップ 7.2.6.1.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

ステップ 7.2.6.2

$3 (2 x^{3} + 27)$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$

微分積分 例

微分積分例