微分積分例

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \sin (3 x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

ステップ 1.2

$\sin (3 x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\sin (3 x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

ステップ 2.2

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y \cos^{3} (3 x)$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (3 x)$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

ステップ 2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

ステップ 2.5

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.5.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.6.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6.3

$3$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

ステップ 2.6.5

$- 18$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

ステップ 4.3

$2 y \cos^{3} (3 x)$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 y \cos^{3} (3 x)$ を $N$ に代入します。

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.2

$0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

項を並べ替えます。

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ を $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.2.4

$2$ を $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.2.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$2$ を $2 y \cos^{3} (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

ステップ 4.3.2.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

ステップ 4.3.2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.3.2

$9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.5

$\cos^{2} (3 x)$ と $\cos^{3} (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$\cos^{2} (3 x)$ を $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$\cos^{2} (3 x)$ を $\cos^{3} (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 4.3.6

分数を分解します。

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 4.3.7

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ を $\tan (3 x)$ に変換します。

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

ステップ 4.3.8

$9$ を $1$ で割ります。

$9 \tan (3 x)$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

ステップ 5.2

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

ステップ 5.3

$\tan (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$\frac{1}{3}$ と $9$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.5.2

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.5.2.2.3

式を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.5.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

ステップ 5.6

$\tan (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sec (u) |)$ です。

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

ステップ 5.7

簡約します。

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

ステップ 5.8

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

ステップ 5.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

ステップ 5.9.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

ステップ 6

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\sec^{3} (3 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sin (3 x)$ に $\sec^{3} (3 x)$ をかけます。

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.2

正弦と余弦に関して $\sec (3 x)$ を書き換えます。

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (3 x)}$ に当てはめます。

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.5

$\sin (3 x)$ と $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.6

$\cos (3 x)$ を $\cos^{3} (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.7

分数を分解します。

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.8

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ を $\tan (3 x)$ に変換します。

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.10

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.11

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ を $\sec (3 x)$ に変換します。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.12

$2 y \cos^{3} (3 x)$ に $\sec^{3} (3 x)$ をかけます。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

ステップ 6.13

正弦と余弦に関して $\sec (3 x)$ を書き換えます。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

ステップ 6.14

積の法則を $\frac{1}{\cos (3 x)}$ に当てはめます。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

ステップ 6.15

$\cos^{3} (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.15.1

$\cos^{3} (3 x)$ を $2 y \cos^{3} (3 x)$ で因数分解します。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

ステップ 6.15.2

共通因数を約分します。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

ステップ 6.15.3

式を書き換えます。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

ステップ 6.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

ステップ 6.17

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 y d y$

ステップ 8

$N (x, y) = 2 y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 11.2

総和則では、 $y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 11.3

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 11.5

$0$ と $\frac{d g}{d x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 12

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

ステップ 12.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

ステップ 12.3

$u_{2} = \sec (3 x)$ とします。次に $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$u_{2} = \sec (3 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$\sec (3 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 12.3.1.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 12.3.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 12.3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 12.3.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 12.3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 12.3.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

ステップ 12.3.1.3.3.2

$3$ を $\sec (3 x) \tan (3 x)$ の左に移動させます。

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 12.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 12.4

$u_{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

ステップ 12.5

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 12.6

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 12.7

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 12.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 12.8.2

$3$ に $2$ をかけます。

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 12.9

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (3 x)$ で置き換えます。

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

ステップ 13

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

ステップ 14

$\frac{1}{6}$ と $\sec^{2} (3 x)$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

微分積分 例

微分積分例